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01 测量信号的基础：采样、噪声与误差

滤波器不是魔法。它不能把坏传感器变成好传感器，也不能让采样率不足的系统凭空获得细节。学习算法之前，要先理解测量数据从哪里来、长什么样、以及哪些问题靠滤波能解决、哪些不能。

这一章是全书的地基。后面每一个滤波器的设计——窗口选多长、系数取多大、截止频率定在哪——都要回到这里的基本概念。如果这一章没读清楚，后面的参数选择就只能靠猜。

本章先建立三件事：

  • 测量值从物理世界进入 MCU 时，会经历哪些误差来源。
  • 采样率、量化噪声、混叠和抗混叠之间是什么关系。
  • 评价滤波效果时，应该看哪些工程指标，而不是只看曲线顺不顺眼。

一个测量值是怎样产生的

典型 MCU 测量链路是：

真实物理量 -> 传感器 -> 模拟调理电路 -> ADC -> 数字滤波 -> 标定换算 -> 显示/控制

每一环都会引入自己的问题：

环节 典型问题
传感器 非线性、温漂、灵敏度误差、输出阻抗
模拟调理 运放失调、增益误差、带宽限制、电源纹波耦合
ADC 量化噪声、积分非线性、微分非线性、采样抖动
数字滤波 延迟、过冲、稳态误差（这是本书重点）
标定换算 标定误差、温度补偿残差

数字滤波只处理 ADC 之后的数据。模拟电路饱和、供电纹波严重、采样布线错误、量程选错，这些问题靠软件滤波只能缓解，不能根治。所以在讨论任何滤波器之前，先确认你已经做对了前三个环节。

ADC 量化基础

ADC 把连续的模拟电压变成离散的数字码值。这个过程叫量化。

位数与分辨率

一个 \(B\) 位 ADC 的输出范围是 0 到 \(2^B - 1\)。常见情况（以 2.5V 参考电压为例）：

ADC 位数 码值范围 分辨率（2.5V 参考）
8 位（内部 ADC 常见） 0 ~ 255 9.77 mV/LSB
12 位（内部 ADC 常见） 0 ~ 4095 0.610 mV/LSB
16 位（外部 ADC 常见） 0 ~ 65535 38.1 µV/LSB
24 位（Σ-Δ 型 ADC） 0 ~ 16777215 149 nV/LSB

其中 LSB（Least Significant Bit）就是最小分辨单位。一个 12 位 ADC 配 2.5V 参考电压，意味着它只能区分相差 0.610 mV 以上的两个电压。比这更小的变化，ADC 看不到。

量化噪声

量化会引入误差。每次采样，真实值和量化后的值之间会有一个偏差。

设 ADC 的量化步长为 \(\Delta\)，也就是一个 LSB 对应的电压宽度：

\[ \Delta = \text{LSB} \]

如果输入信号有足够随机波动（比如传感器本身的噪声），量化误差会随机落在 \(-\Delta/2\) 到 \(+\Delta/2\) 之间，没有固定方向。这个区间的总宽度就是 \(\Delta\)。宽度为 \(\Delta\) 的均匀分布，其方差为：

\[ \sigma_q^2 = \frac{\Delta^2}{12} \]

所以量化噪声的方差可以写成：

\[ \sigma_q^2 = \frac{\text{LSB}^2}{12} \]

需要注意：这个公式成立的前提是量化误差确实是随机的。如果输入是直流信号、没有抖动，输出会锁死在同一个码值，方差接近零，公式就不适用了。

对应的等效均方根（RMS）电压为：

\[ \sigma_q = \frac{\text{LSB}}{\sqrt{12}} \]

对于 12 位 ADC、2.5V 参考：

\[ \text{LSB} = \frac{2.5}{4096} \approx 0.610\;\text{mV}, \quad \sigma_q \approx 0.176\;\text{mV} \]

注：满量程正弦波输入主要用于推导理想 SNR 公式，和上面的均匀分布假设是两个不同的分析角度。

量化造成的信息损失不可完全恢复——同一个码值对应一段连续电压范围，你无法从码值反推出原始电压在这段范围内的确切位置。

但在一定条件下，量化误差可以近似为零均值、与信号不相关的随机噪声，此时过采样和平均可以降低其均方值。这个条件是：信号本身有足够小的随机波动（或人为注入抖动/dither），使得量化误差在相邻采样点之间表现为不相关。

反过来说，对于完全静止的直流输入、没有抖动的情况，ADC 输出会锁死在同一个码值上。对 \(N\) 次相同的码值求平均，结果还是那个码值——有效分辨率没有增加。这不是滤波器的缺陷，而是输入信号没有给滤波器任何可以利用的“变化信息”。

信噪比与有效位数

当量化误差满足上述随机性条件时，ADC 的理想信噪比（SNR）由位数 \(B\) 决定：

\[ \text{SNR}_{\text{ideal}} \approx 6.02\,B + 1.76 \quad \text{dB} \]

代入几个常见值：

位数 \(B\) 理论 SNR
8 49.9 dB
10 62.0 dB
12 74.0 dB
14 86.0 dB
16 98.1 dB

实际 ADC 往往达不到理论值。有效位数（ENOB）是衡量实际性能的指标：

\[ \text{ENOB} = \frac{\text{SNR}_{\text{measured}} - 1.76}{6.02} \]

一个标称 12 位的 ADC，如果实测 SNR 只有 68 dB，那它的 ENOB 约为 11 位。剩下的 1 位被各种误差吃掉了。

过采样与平均的条件

当量化误差确实表现为随机噪声时，滤波的本质是用时间换精度。

如果你对信号采 \(N\) 个点然后求平均，噪声的 RMS 电压会降低到原来的 \(1/\sqrt{N}\)，信噪比（功率比）提高 \(N\) 倍，折算成 dB 即 \(10\log_{10}(N)\)。换算成等效位数：

\[ \Delta B \approx \frac{1}{2}\,\log_2(N) \]

以下数据适用于对 N 个独立（不重叠）样本求平均，且量化误差近似白噪声。滑动平均的方差改善取决于噪声相关性，对白噪声效果类似但不完全等同。

平均点数 N SNR 提高 等效增加位数
4 6 dB 1 位
16 12 dB 2 位
64 18 dB 3 位
256 24 dB 4 位

所以一个 12 位 ADC 配合 256 点平均，在量化误差满足随机性条件时，理论上可以接近 16 位的精度。

实际 MCU 工程中，"用时间换精度"有两种玩法：

  • 滑动平均（Moving Average）：依然以 fs 的速率输出，每个周期更新一次，延迟低，但输出数据量没有减少。
  • 抽取（Decimation）：每采 \(N\) 个点求和并右移（或除以 \(N\)），输出一个高精度值，输出速率降为 \(f_s/N\)。这就是过采样与抽取（Oversampling and Decimation），是 ADC 芯片内部和高精度测量系统中常用的技术。

工程中常用的做法是人为注入小幅抖动（Dither），确保量化误差的随机性条件成立。部分高精度 ADC 内部已经集成了抖动功能。如果系统中没有抖动，不要盲目相信“平均 \(N\) 次就多了几位精度”这个说法——先确认你的信号或噪声是否足够让量化误差表现得像随机的。

采样与混叠

ADC 按固定时间间隔采样。相邻两次采样之间的时间叫采样周期 \(T_s\)，采样率 \(f_s = 1/T_s\)。

采样率太低会发生什么

考虑一个信号包含两个频率分量：一个 10 Hz 的慢变化和一个 90 Hz 的快变化。如果采样率是 100 Hz：

10 Hz 信号：每个周期采 10 个点，能正确还原。
90 Hz 信号：每个周期只采约 1.1 个点，严重不足。

更糟糕的是，90 Hz 信号采样后会混叠到 10 Hz——在数字域中，你无法区分这个 10 Hz 分量是来自真实的 10 Hz 信号，还是来自 90 Hz 的混叠。混叠可能带有相位或符号的变化，但频率成分上无法区分。这叫混叠（aliasing）。

用数学表示，对于采样率 \(f_s\)，频率 \(f\) 和 \(f_s - f\) 在采样后是不可区分的：

\[ f_{\text{alias}} = |f - k \cdot f_s| \quad \text{（}k\text{ 是使结果落在 }0 \sim f_s/2\text{ 的整数）} \]

一个具体的混叠例子

假设采样率 \(f_s = 100\;\text{Hz}\)，真实信号是 110 Hz 的正弦波：

\[ f_{\text{alias}} = |110 - 1 \times 100| = 10\;\text{Hz} \]

采样后，这个 110 Hz 信号看起来完全像一个 10 Hz 信号。如果你的系统本来就在测量 10 Hz 的物理量，这个混叠信号会混进你的测量结果里，而且你完全看不出来。

Nyquist（奈奎斯特）定理

对基带信号来说，如果希望采样后不发生混叠，采样率 \(f_s\) 必须大于信号最高有效频率 \(f_{\max}\) 的两倍：

\[ f_s > 2 f_{\max} \]

这里还有一个容易忽略的前提：进入 ADC 的模拟信号必须是带限的。也就是说，在 \(f_s/2\) 以上的频率分量必须被充分衰减，否则这些高频分量会折叠到低频，变成数字域里看起来"合法"的假信号。

\(f_s/2\) 叫做 Nyquist 频率。它不是现实世界中信号能有的最高频率，而是采样系统在不混叠的前提下能够表示的最高频率。

实际工程中，信号不可能天然严格带限，所以通常在 ADC 之前放一个模拟低通滤波器，也就是抗混叠滤波器。它的作用不是让高频分量完全消失，而是把 \(f_s/2\) 以上的成分压低到系统允许的误差范围内。

工程上通常不会让信号频率刚好等于 Nyquist 频率。一般要求信号频率不超过采样率的 1/3 到 1/5，留出足够的裕量。

要观察的信号 最低采样率（理论） 推荐采样率（工程）
50 Hz 工频 100 Hz 300 ~ 500 Hz
1 kHz 电机电流纹波 2 kHz 6 ~ 10 kHz
温度慢变化（< 1 Hz） 2 Hz 5 ~ 10 Hz

采样率选高了有什么代价

采样率不是越高越好。更高的采样率意味着：

  • 更多数据：存储和传输压力增大。
  • 更多计算：每个采样周期都要执行一次滤波更新，MCU 算力可能不够。
  • 更多功耗：ADC 和 CPU 频繁唤醒，电池供电系统尤其敏感。
  • 更低的单次采样质量：有些 SAR 型 ADC 在高速采样时精度会下降。

所以采样率的选择是一个权衡：够用就行，留适当裕量，不要盲目追求高。

抗混叠：滤波器做不到的事

混叠一旦发生，数字滤波器无法消除它。因为混叠后的信号和真实低频信号在数字域里完全一样，滤波器分不出谁是谁。

解决混叠必须在 ADC 之前——用模拟低通滤波器把高于 Nyquist 频率的分量衰减掉。这个滤波器叫抗混叠滤波器（anti-aliasing filter）。

传感器 -> 抗混叠滤波器（模拟低通） -> ADC -> 数字滤波器

抗混叠滤波器的截止频率通常设在 Nyquist 频率附近或以下。比如采样率 1 kHz，抗混叠滤波器截止频率可以设在 200 ~ 400 Hz。

很多初学者以为抗混叠滤波器必须很复杂。实际上如果采样率裕量足够大（比如信号带宽只有采样率的 1/10 甚至更低），一个最简单的一阶无源 RC 滤波器就能起到很好的抗混叠效果。只有当信号带宽非常贴近 Nyquist 频率时，才需要二阶甚至有源巴特沃斯等高阶滤波器。

实际工程中，很多 MCU 应用没有外加抗混叠滤波器。这在测量温度、电压等慢变化信号时通常没问题，因为信号本身就没有高频分量。但如果你在测量振动、电流纹波、声音等快速变化的信号，没有抗混叠滤波器就是在冒险。

常见噪声类型

了解噪声类型，才能选对滤波器。下面按工程中遇到的频率从高到低排列。

量化噪声

表现：当输入附近存在足够小的随机波动时，ADC 输出会在相邻几个码值之间跳动，幅度通常在 ±1 LSB 以内。如果输入和前端都非常安静，码值反而可能长期停在同一个数上。

频谱：在信号有足够随机波动或注入抖动（dither）的条件下，近似白噪声，均匀分布在整个频带。直流输入且无抖动时，量化噪声不是白噪声，而是确定性的（输出锁死在同一码值）。

对策：过采样 + 平均。配合小幅抖动（Dither）或前端本身适量的随机噪声，在量化误差随机化条件成立时，可以得到亚 LSB 的平均结果，等效提高测量分辨率。但要注意：它不能修复 INL（积分非线性）、DNL（微分非线性）、参考电压漂移或模拟前端饱和等硬件误差，也不等于 ADC 芯片本身的转换精度变高了。

随机热噪声（白噪声）

表现：数值围绕真实值上下跳动，没有固定方向和规律。每次跳动的幅度不等，但统计上呈正态分布。

来源：传感器本身的热噪声、电阻噪声、运放输入噪声。

量化指标：幅度通常远大于 1 LSB。如果你的 12 位 ADC 读数在稳态时上下跳动 10~20 个码值，那主要是热噪声在作怪。

频谱：近似白噪声，在所有频率上均匀分布。

对策：滑动平均、一阶滞后、FIR 低通。这类噪声是滤波器最擅长处理的，因为它接近零均值，平均和低通可以降低其均方值。

尖峰干扰（脉冲干扰）

表现：大部分时间正常，偶尔突然跳到很大或很小的值。持续时间通常只有 1~3 个采样点。

来源：电源开关噪声、继电器动作、EMI 突发、接触不良。

量化指标：幅度通常是正常值的 2~10 倍，甚至更大。出现频率可能很低（几分钟一次），但单次破坏力大。

频谱：能量分散在很宽的频带，不属于某个特定频率。

对策：限幅滤波、中值滤波、Hampel 滤波、去极值平均。关键是要用非线性方法把极端值剔除，线性滤波器（平均、FIR）会被尖峰严重污染。

机械抖动（消抖问题）

表现：按键、继电器、干簧管在状态切换时，触点会快速弹跳，产生几毫秒到几十毫秒的反复跳变。

量化指标：一个按键的典型抖动时间是 5~20 ms，抖动次数 3~10 次。

对策：消抖滤波（确认连续 \(N\) 次相同才认为状态改变）、迟滞回差。注意消抖滤波是非线性的，不能用频率响应来分析。

慢漂移

表现：读数在几分钟到几小时的时间尺度上缓慢偏移。方向可能单向，也可能来回。

来源：温度变化导致的零点漂移、电源电压缓慢变化、传感器老化。

量化指标：偏移速度可能很慢（每分钟零点几度），但累积效果可能很大。

频谱：能量集中在极低频，接近直流。

对策：滤波不能完全解决慢漂。通常需要周期标定、温度补偿、差分测量或自校准。高通滤波可以去除直流偏移，但也会丢失真正的慢变化信号。

周期干扰（工频干扰等）

表现：读数有规律地波动，周期固定。最常见的是 50 Hz 或 60 Hz 工频干扰。

来源：电源纹波通过地线或空间耦合进入信号链路。

量化指标：幅度取决于耦合强度，可能从几 LSB 到几百 LSB 不等。如果干扰幅度接近信号本身，问题就很严重。

频谱：能量集中在干扰频率及其谐波（50, 100, 150, 200 Hz...）。

对策：陷波滤波器（针对特定频率）、同步采样（采样时刻和干扰周期对齐）、整周期积分平均。注意：如果采样率和干扰频率不成整数倍关系，普通平均可能产生"拍频"残余。

噪声类型速查表

噪声类型 时间特征 幅度特征 推荐滤波器
量化噪声 每个采样点 ±1 LSB 过采样 + 平均
热噪声 每个采样点 几到几十 LSB，正态分布 平均、一阶滞后、FIR
尖峰干扰 偶发，1~3 点 正常值的 2~10 倍 限幅、中值、Hampel
机械抖动 状态切换时，5~20 ms 0/1 反复跳 消抖、迟滞
慢漂移 分钟到小时 缓慢单向偏移 标定、温度补偿、高通
周期干扰 固定周期 几到几百 LSB 陷波、同步采样

频率响应：描述滤波器的统一语言

前面讲了噪声有不同频率成分。滤波器的作用就是选择性地保留某些频率、衰减某些频率。要定量描述这个能力，就需要频率响应。

什么情况下可以谈频率响应

只要一个算法满足两个条件：

  • 线性：输入放大多少，输出也放大多少；两个输入相加，输出也相加。
  • 时不变：同样的输入晚一点出现，输出也只是晚一点出现。

它就可以用频率响应来分析。

滑动平均、FIR、一阶 IIR 都属于线性时不变（LTI）系统。中值滤波、限幅滤波、消抖、迟滞不属于 LTI 系统，所以不能简单说它们有某一个固定截止频率。

怎么判断一个滤波器是不是线性的？一个简单办法：

如果输入变成原来的 2 倍，输出也变成 2 倍吗？
如果两个输入相加，输出等于各自输出的和吗？

例如滑动平均 y = (x1 + x2 + x3) / 3：

输入 2 倍：(2x1 + 2x2 + 2x3) / 3 = 2 × (x1 + x2 + x3) / 3 ✓
输入相加：((a1+b1) + (a2+b2) + (a3+b3)) / 3 = 均值(a) + 均值(b) ✓

中值滤波 y = median(x1, x2, x3)：

设 A = [1, 0, 0]，median(A) = 0
设 B = [0, 0, 1]，median(B) = 0

各自输出相加：median(A) + median(B) = 0 + 0 = 0
先将输入相加：A + B = [1, 0, 1]，median(A + B) = 1

0 ≠ 1 → 不满足叠加性 ✗

中值滤波不满足叠加性，所以是非线性的。这不意味着它不好，只是不能用频率响应来分析它。

频率响应回答什么问题

频率响应回答的是这个问题：

如果输入是某个频率的正弦波，输出会被放大还是衰减？相位会滞后多少？

对于 LTI 滤波器，频率响应是一个复数函数 \(H(f)\)，它的：

  • 幅度 \(|H(f)|\) 表示该频率的增益（1 = 不变，0.5 = 衰减一半，0 表示理想情况下该频率被压到零）
  • 相位 \(\angle H(f)\) 表示该频率的滞后角度

数字系统中常用归一化角频率：

\[ \omega = 2\pi \cdot \frac{f}{f_s} \]

其中 \(f\) 是实际频率，\(f_s\) 是采样率。

这个公式的意思是：把频率轴压缩到 0 到 \(\pi\) 的范围内。 \(\omega = 0\) 对应直流（不变的量），\(\omega = \pi\) 对应 Nyquist 频率 \(f_s/2\)（最快的振荡），中间的值对应不同速度的波动。

用归一化角频率的好处是，滤波器特性不依赖于具体采样率，方便比较和移植。

截止频率

低通滤波器的截止频率通常指幅度下降到通带低频幅度的 \(1/\sqrt{2}\) 处，也就是功率下降一半的位置，工程上叫 -3 dB 点：

\[ |H(f_c)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot |H(0)| \approx 0.707 \cdot |H(0)| \]

为什么是 0.707？因为功率和幅度的平方成正比，幅度降到 0.707 时功率正好降到一半（\(0.707^2 \approx 0.5\)）。这是一个工程约定，不是一个物理定律。它不表示高于 \(f_c\) 的频率完全消失，只表示从这里开始衰减已经达到一个约定标准。

不同滤波器在截止频率之后的下降速度差别很大：

  • 一阶 IIR：每倍频程衰减 6 dB（频率翻倍，幅度减半）
  • 二阶 IIR：每倍频程衰减 12 dB
  • FIR：衰减速度和阻带深度由阶数和设计方法（窗函数、等波纹等）共同决定，不能只看阶数

衰减速度越快，频率选择性越强，但代价也越大——可能带来更大延迟、振铃、相位失真，或者对系数量化更敏感、实现更复杂。

截止频率与窗口长度的关系

对于 \(N\) 点滑动平均，截止频率大约在（数值近似，来自 sinc 方程的数值解）：

\[ f_c \approx \frac{0.443 \cdot f_s}{N} \]

\(N \ge 4\) 时此近似误差小于 2%；\(N\) 较小时（如 2 或 3）应直接计算幅频响应 \(|H(e^{j\omega})|\) 验证。

反过来，如果你需要一个截止频率为 \(f_c\) 的滑动平均，窗口长度应该取：

\[ N \approx \frac{0.443 \cdot f_s}{f_c} \]

例如采样率 100 Hz，想要截止频率 10 Hz：

\[ N \approx \frac{0.443 \times 100}{10} \approx 4.4 \rightarrow \text{取 } N = 5 \]

这个关系是后面所有参数设计的基础：从工程指标（我要滤掉什么频率）反推算法参数（窗口多长、系数多大）。

零点：平均滤波的隐藏武器

滑动平均不只是一个"有截止频率的低通"，它还有很多零点。在零点频率上，输出幅度理论上为 0。

对 \(N\) 点滑动平均，零点出现在：

\[ f_{\text{zero}}(k) = \frac{k \cdot f_s}{N} \quad (k = 1, 2, 3, \ldots) \]

第一零点在 \(f_s/N\) 处。

为什么会有零点？用一个 4 点滑动平均来理解。

假设输入是频率恰好等于 \(f_s/4\) 的正弦波，每个周期采 4 个点。连续 4 个采样值刚好是正弦波的一个完整周期的四个等分点：

sin(0°) = 0
sin(90°) = 1
sin(180°) = 0
sin(270°) = -1

这 4 个值的平均为：

\[ \frac{0 + 1 + 0 + (-1)}{4} = 0 \]

输出为零，也就是这个频率的正弦分量被抵消了。

这就是为什么有时平均滤波对某些周期干扰特别有效：不是因为它“平均得多”，而是干扰频率刚好落在它的零点附近。如果你知道干扰频率是 \(f_0\)，可以选择窗口长度 \(N = f_s/f_0\)，让零点对准干扰。

稳定性与响应速度的矛盾

滤波最常见的取舍是：

  • 越平滑，显示越稳，但响应越慢。
  • 越灵敏，响应越快，但噪声越明显。

这不是某个滤波器的缺点，而是所有滤波器的根本约束。它来自一个基本事实：你不能同时精确知道信号的"现在值"和"变化趋势"。 要确认信号稳定，需要看一段时间的历史；要看历史，就引入了延迟。

所以不要问"哪个滤波器最好"，要问：

  • 允许多大抖动？
  • 允许多大延迟？
  • 异常值多不多？
  • 信号本身变化快不快？
  • MCU 有多少 RAM 和运算时间？

这些问题的答案决定了你应该用什么滤波器、参数怎么选。

评价滤波效果的三个指标

实际项目中，不要只凭肉眼觉得"顺眼"来判断滤波效果。建议用三个指标量化：

抖动幅度

稳态时最大值和最小值相差多少：

\[ \text{抖动} = \max(\text{输出}) - \min(\text{输出}) \quad \text{（稳态期间）} \]

这个值越小越好，但不能为零（除非信号本身不变）。测量时要等滤波器完全收敛后再取足够长的窗口。

响应时间

输入从旧值跳到新值后，滤波输出需要多久接近新值。

工程上常用"达到最终值 90% 或 95% 所需的时间"来衡量。对于一阶系统，时间常数 \(\tau\) 和系数 \(\alpha\) 的关系是：

\[ \tau = -\frac{T_s}{\ln(1 - \alpha)}, \quad \text{达到 95\%} \approx 3\tau, \quad \text{达到 99\%} \approx 5\tau \]

例如采样率 100 Hz（\(T_s = 10\;\text{ms}\)），\(\alpha = 0.1\)：

\[ \tau = \frac{-0.01}{\ln(0.9)} \approx 0.095\;\text{s}, \quad 95\% \text{ 响应} \approx 0.285\;\text{s} \]

异常恢复能力

遇到尖峰、断线、饱和时，输出会不会被带偏，多久恢复。

测试方法：在正常信号中人为插入一个极端值（比如正常值的 10 倍），观察滤波器输出偏离正常范围多少、多快回来。线性滤波器（平均、FIR、IIR）会被尖峰严重污染，恢复较慢；中值滤波在窗口内异常点数量不超过半数时能有效剔除尖峰；限幅滤波依赖阈值设置是否合理。非线性方法通常更适合处理尖峰，但仍然需要满足各自的适用条件。

指标记录建议

建议把这三个指标写进测试记录，格式类似：

滤波器：滑动平均 N=10
采样率：100 Hz
抖动幅度：稳态 ±2 LSB
响应时间（95%）：约 0.3 s
尖峰恢复：10 倍尖峰后偏离 5 LSB，约 5 个采样周期恢复

有了这些记录，不同滤波器、不同参数之间才能客观比较。

采样率选择的工程决策框架

最后把采样率的选择整理成一个可操作的流程：

第一步：确定信号带宽

你的系统要观察的信号，最高频率成分是多少？

  • 温度、压力、电压：通常 < 1 Hz
  • 称重、液位：通常 < 10 Hz
  • 电机电流：取决于 PWM 频率，通常 100 Hz ~ 10 kHz
  • 振动：取决于转速和关心的谐波次数

第二步：确定 Nyquist 下限

采样率至少是信号最高频率的 2 倍。这是理论下限。

第三步：加上工程裕量

乘以 3~5 倍，甚至更多。裕量用来：

  • 放松抗混叠滤波器的设计要求（裕量越大，模拟滤波器可以越简单）
  • 给数字滤波器留出工作空间（滤波器在 Nyquist 附近性能变差）
  • 应对信号频率可能的变化

第四步：检查系统约束

先看 MCU 内部 ADC 能不能满足需求：

  • MCU 的 ADC 最高采样率是多少？（很多入门级 MCU 内部 ADC 只有 100 kSPS 甚至更低）
  • ADC 位数够不够？（8 位和 16 位的量化噪声差 48 dB）
  • 多通道采样时实际速率会打折吗？（扫描模式下每通道速率 = 总速率 / 通道数）
  • 每次采样后要执行多少计算？来得及吗？
  • 数据要存储吗？存储空间够吗？
  • 电池供电吗？功耗预算够吗？

如果内部 ADC 不能满足需求，进入下面的工程补充内容。

工程补充：外部 ADC 与基准电压源

以下内容偏向硬件选型，初学者可以先跳过，等遇到具体项目需要时再回来查阅。

当内部 ADC 不够用时，需要考虑外部 ADC：

考量点 内部 ADC 外部 ADC
位数 通常 10~12 位 可选 16~24 位
采样率 受 MCU 时钟限制 独立时钟，可达 MSPS 级
通道数 受引脚限制 可选多通道、差分输入
噪声 受 MCU 数字噪声耦合影响 独立供电，噪声隔离更好
成本 零额外成本 增加芯片、PCB 面积、驱动开发

常见的外部 ADC 选型方向：

  • 高精度慢信号（温度、称重）：Σ-Δ 型 ADC，如 ADS1220（24 位）、ADS1115（16 位）
  • 高速信号（振动、电流）：SAR 型 ADC，如 ADS8860（16 位 1 MSPS）、AD7606（16 位 8 通道同步采样）

基准电压源：容易被忽视的关键环节

ADC 的精度不仅取决于位数，还取决于参考电压的稳定性和精度。

MCU 内部通常有一个参考电压源，但精度一般（±1% ~ ±2%），温漂也较大（几十到几百 ppm/°C）。如果你对绝对精度有要求，或者系统工作温度变化大，内部参考可能不够。

外部基准电压源的选型要点：

参数 含义 典型范围
初始精度 输出电压和标称值的偏差 ±0.02% ~ ±1%
温度系数 温度变化 1°C 引起的输出变化 1 ~ 50 ppm/°C
长期漂移 工作数千小时后的输出变化 几十 ppm/√kH
噪声 基准本身的输出噪声 几 µV 到几十 µV RMS

常见基准芯片：

  • 低成本通用：TL431（精度一般，适合对绝对精度要求不高的场合）
  • 中等精度：REF3030（3.0V，±0.2%，50 ppm/°C）
  • 高精度：ADR445（5.0V，±0.04%，3 ppm/°C）

一个实际例子：如果你用 12 位 ADC 量程 2.5V，基准电压偏 1%，出厂时用标准器校准后可以修正这个偏差——只要偏差是固定的，测一次就知道该乘什么系数。

但以下三类误差靠一次性校准解决不了：

  • 温度漂移：基准的输出随温度变化，工作温度每变 10°C，50 ppm/°C 的基准就偏 0.05%。除非你在每个工作温度下都做校准，或者用温度传感器实时补偿。
  • 长期漂移：基准芯片老化会导致输出缓慢变化，通常在几十 ppm/√kH 量级。运行一年后可能偏了 0.02%~0.05%，而且你不知道具体偏了多少，除非定期重新校准。
  • 基准噪声：基准本身有输出噪声（通常几 µV 到几十 µV RMS），这是随机的，每次测量都不一样，校准也消除不了。

所以基准电压源的选择原则是：如果你只关心重复性（相对精度），初始精度可以通过校准修正，重点看温漂和噪声；如果你关心绝对精度且不方便定期校准，初始精度也要重视。 对于工作温度变化大或要求长期稳定的系统，选低温漂基准（< 10 ppm/°C）比选高初始精度更重要。

第五步：用滤波器需求反验

如果你需要一个截止频率 10 Hz 的低通滤波器，采样率 100 Hz 意味着 \(N \approx 5\)（滑动平均），群延迟 \((N-1)/(2f_s) = 4/200 = 20\;\text{ms}\)。如果采样率选 1000 Hz，同样的 10 Hz 截止需要 \(N \approx 44\)，群延迟 \(43/2000 \approx 21.5\;\text{ms}\)——差不多，但 RAM 需要保存的窗口长度从 5 增加到 44（约 9 倍），单位时间内的更新次数也从 100 增加到 1000（10 倍）。

如果用朴素求和实现滑动平均，每次更新的计算量和 \(N\) 成正比，总计算量会按采样率和窗口长度一起放大。如果用递推方式（维护一个累加值，每次加新减旧），每次更新的计算量近似常数，但仍然要承受更高的更新频率。所以采样率不是孤立选择的，它和滤波器参数、延迟要求、计算资源一起构成一个系统级的权衡。

这一章建立的概念——量化、采样、噪声类型、频率响应、截止频率、零点——会在后续每一章反复用到。如果某个概念还不太清楚，不用急着在这里完全搞懂，先记住它存在，学到后面回来看往往会有新的理解。