04 趋势感知与自适应滤波
这一章讨论的不是某个单一算法，而是滤波器如何根据当前数据状态改变自己的参数。
它介于两个阶段之间：第二章讲的是固定参数滤波器——例如一阶滞后的平滑系数 \(\alpha\)、滑动平均的窗口长度 \(N\)、限幅和消抖中的阈值，都是预先设定好的，运行中不会根据当前数据状态自动改变；第五章将进入完整的状态空间模型——卡尔曼滤波、传感器融合。这一章讲的是工程师常用的"半经验、半模型"方法：让滤波器根据当前数据状态判断现在该稳，还是该快。
固定参数为什么不够用
一阶滞后的平滑系数 \(\alpha\) 可以理解为"每次更新时相信新输入多少"。\(\alpha\) 小，输出更稳但响应更慢；\(\alpha\) 大，响应更快但噪声也更明显。固定参数的矛盾就在这里：无论选哪个值，总有一种情况它处理不好。
滑动平均也一样：窗口大能降噪但延迟大，窗口小响应快但噪声多。
这两个矛盾是同一个问题的两面。具体来说：
- 选了小 alpha：信号稳定时输出很干净，但真实变化来了要等很久才跟上。
- 选了大 alpha：阶跃响应很快，但稳态时输出跟着噪声一起抖。
- 选了大窗口：噪声被压得很低，但窗口越大，输出的延迟越大。
能不能让滤波器自己判断当前属于哪种情况，然后动态调整参数？ 这就是自适应滤波的核心思想。
自适应滤波先解决什么问题
在设计自适应策略之前，先要分清输入信号当前处于什么状态。通常可以分成三类：
- 稳态小抖动。 传感器读数围绕某个值小幅波动，没有明显趋势。这是最常见的情况，也是固定参数滤波器最擅长的。
- 真实缓慢趋势。 温度在升温、电池电压在缓慢下跌、液位在慢慢上升。信号确实在变化，但变化速度不快，需要滤波器能跟踪而不是把它当噪声抹掉。
- 突然阶跃或异常点。 传感器被干扰打出尖峰，或者真实物理量确实发生了突变（比如阀门打开，流量突然从 10 变到 80）。需要快速响应，但又不能把噪声当突变。
这三种状态对滤波器参数的要求是矛盾的：状态 1 需要小 alpha，状态 2 需要中等 alpha 并且要能感知趋势，状态 3 需要大 alpha 或者特殊的异常处理。自适应滤波的任务就是根据当前数据判断属于哪种状态，然后调整参数。
动态一阶滞后：根据误差改变 alpha
这是本章最核心、最容易落地的算法。它的思想很朴素：误差小时用小 alpha 保持稳定，误差大时用大 alpha 快速跟随。
基本思路
先把误差的绝对值 \(|x - y|\) 映射到 0 到 1 的比例 \(k\)，再用 \(k\) 在慢速系数和快速系数之间插值：
其中 \(E_{\text{small}}\) 是"认为稳定"的误差下限，\(E_{\text{large}}\) 是"认为需要快速响应"的误差上限。当 \(|x - y|\) 小于 \(E_{\text{small}}\) 时 \(k = 0\)，用 \(\alpha_{\text{slow}}\)；当 \(|x - y|\) 大于 \(E_{\text{large}}\) 时 \(k = 1\)，用 \(\alpha_{\text{fast}}\)；中间线性插值。
为什么有效
这个方法有效的前提是：误差大小可以粗略反映信号状态。 当传感器读数和当前输出差距很小时，大概率是稳态噪声；差距很大时，大概率是真实变化或异常。
这个前提不总是成立（后面会讲风险），但在很多实际场景中足够好用。
参数怎么选
- \(\alpha_{\text{slow}}\)：稳态时的平滑系数，通常 0.01 ~ 0.1，越小越稳。
- \(\alpha_{\text{fast}}\)：需要快速响应时的系数，通常 0.3 ~ 0.8，越大越快。
- \(E_{\text{small}}\)：小于这个误差认为是稳态噪声。可以从传感器的典型噪声幅度估计，比如 ADC 在稳态时抖动 ±3 个 LSB，可以设 5。
- \(E_{\text{large}}\)：大于这个误差认为需要快速响应。取决于物理量的最大变化速度和采样率。
MCU C 实现
#include <stdint.h>
typedef struct {
float y; /* 上一次输出 */
uint8_t init; /* 是否完成初始化 */
} DynamicLag;
void dynamic_lag_init(DynamicLag *f)
{
f->y = 0.0f;
f->init = 0;
}
/**
* 动态一阶滞后。
* x: 当前输入
* alpha_slow: 稳态时的平滑系数（小）
* alpha_fast: 需要快速响应时的平滑系数（大）
* err_small: 误差低于此值时认为是稳态
* err_large: 误差高于此值时认为需要快速响应
*/
float dynamic_lowpass(DynamicLag *f, float x,
float alpha_slow, float alpha_fast,
float err_small, float err_large)
{
if (!f->init) {
f->y = x;
f->init = 1;
return x;
}
/* 前提：0 <= err_small < err_large，0 <= alpha_slow <= alpha_fast <= 1 */
float e = x - f->y;
float ae = e >= 0.0f ? e : -e;
/* 防止除零：err_large <= err_small 时直接用 alpha_slow */
float diff = err_large - err_small;
float k = 0.0f;
if (diff > 0.0f) {
k = (ae - err_small) / diff;
if (k < 0.0f) k = 0.0f;
if (k > 1.0f) k = 1.0f;
}
/* 误差小时 alpha 接近 alpha_slow，误差大时接近 alpha_fast */
float alpha = alpha_slow + k * (alpha_fast - alpha_slow);
/* 钳位 alpha 到合法范围 */
if (alpha < 0.0f) alpha = 0.0f;
if (alpha > 1.0f) alpha = 1.0f;
f->y = f->y + alpha * e;
return f->y;
}
前提条件。 必须满足 \(0 \le E_{\text{small}} < E_{\text{large}}\)，否则除零或映射失效。同时 \(0 \le \alpha_{\text{slow}} \le \alpha_{\text{fast}} \le 1\)，否则插值结果无意义。
代价和权衡。 比普通一阶滞后多了一次绝对值、一次除法、两次比较和一次插值。其中除法在无 FPU 的 MCU 上开销较大；可以预先计算 \(1.0 / (E_{\text{large}} - E_{\text{small}})\) 保存为常数，每次更新改为一次乘法。多了一组参数需要调节：\(\alpha_{\text{slow}}\)、\(\alpha_{\text{fast}}\)、\(E_{\text{small}}\)、\(E_{\text{large}}\)。参数选得不好，可能在稳态和突变之间反复切换，输出反而比固定参数更抖。
什么时候不该用。 噪声幅度和真实变化幅度接近时——滤波器分不清"稳定"和"变化"，alpha 会频繁跳动。这时应该先用其他方法降低噪声（比如硬件滤波、去极值），再用动态一阶滞后。
验证方法。 分别用稳态数据和阶跃数据测试。稳态时输出抖动应该和固定小 alpha 接近；阶跃时响应速度应该比固定小 alpha 明显更快。如果两者都满足，参数选择就是合理的。
二阶指数平滑：同时估计当前值和趋势
一阶指数平滑只估计当前值。如果信号本身有缓慢趋势（温度在升温、电池电压在跌），一阶平滑会把持续变化的一部分当成需要平滑的变化，因此产生稳定滞后——输出永远落后于真实值，差值取决于趋势速度和 alpha。
二阶指数平滑（也叫 Holt 滤波）在估计当前值的同时，还估计每一步大约变化多少。
为什么需要趋势项
考虑一个简单场景：温度以每秒 0.5°C 的速度在升温，采样率 10 Hz，每步真实变化 0.05°C。如果用 alpha = 0.1 的一阶滞后，稳态时输出也会以同样的速率增长，但始终落后一个固定量：
其中 \(c\) 是每步变化量（上例中 \(c = 0.05\;°C/\text{步}\)，即变化速率乘以采样周期）。这个差值不会消失，因为一阶滞后不知道"信号在持续变大"，它只看到每步 0.05°C 的误差，认为是噪声，只吸收其中 10%。
二阶指数平滑通过趋势项来补偿这个滞后：它估计"每步大概变化多少"，把这个变化量加到预测里，让输出能跟上趋势。
数学定义
二阶指数平滑有两条更新式：
其中 \(\ell[n]\) 是当前基准值（level），\(b[n]\) 是当前趋势（trend），表示每步大约增加或减少多少。
预测下一步的值可以用：
变量含义
- \(\ell[n]\)：当前时刻的基准值估计。它同时参考了当前测量值和上一时刻的预测值。
- \(b[n]\)：当前时刻的趋势估计。它跟踪的是"每步基准值变化了多少"。
- \(\alpha\)：对新测量的信任程度。越大越信任当前测量值。
- \(\beta\)：趋势更新速度。越大越信任最新的趋势变化量。
MCU C 实现
#include <stdint.h>
typedef struct {
float level; /* 当前基准值估计 */
float trend; /* 当前趋势，每步大约变化多少 */
uint8_t init; /* 是否完成初始化 */
} Holt;
void holt_init(Holt *h)
{
h->level = 0.0f;
h->trend = 0.0f;
h->init = 0;
}
float holt_update(Holt *h, float x, float alpha, float beta)
{
if (!h->init) {
/* 第一次没有历史趋势，直接用当前输入初始化 */
h->level = x;
h->trend = 0.0f;
h->init = 1;
return x;
}
/* 钳位参数到合法范围 */
if (alpha < 0.0f) alpha = 0.0f;
if (alpha > 1.0f) alpha = 1.0f;
if (beta < 0.0f) beta = 0.0f;
if (beta > 1.0f) beta = 1.0f;
float last_level = h->level;
/* 用"当前测量"和"上一时刻预测值"共同更新 level */
h->level = alpha * x + (1.0f - alpha) * (h->level + h->trend);
/* 用 level 的变化量更新趋势估计 */
h->trend = beta * (h->level - last_level) + (1.0f - beta) * h->trend;
/* 两种输出选择：
* - 用于当前测量值平滑：返回 h->level
* - 用于一步预测或补偿滞后：返回 h->level + h->trend
* 这里返回 level + trend，适合需要提前预测的场景。 */
return h->level + h->trend;
}
参数怎么选
- \(\alpha\)：和一阶滞后类似，0.05 ~ 0.3 常用。越大越信任当前测量，响应越快但噪声越大。
- \(\beta\)：趋势更新速度，通常比 \(\alpha\) 小，0.01 ~ 0.2 常用。太大时趋势估计会追噪声，遇到异常值容易产生过冲。
代价和权衡
计算量比一阶滞后多几次乘加（趋势更新和预测项各需要乘法和加法），以及一个额外的趋势状态变量，RAM 多占 4 字节。整体仍然很轻，MCU 上没有压力。
趋势估计太激进时的风险。 如果 \(\beta\) 太大，一个异常值会让趋势估计跳变，后续几拍输出都会偏离。这和一阶滞后的"尖峰恢复慢"不同——二阶平滑的尖峰影响可能更大，因为趋势项会把偏差放大。
什么时候不该用。 信号没有明显趋势时（比如围绕固定值抖动），趋势项会追噪声，输出反而更不稳定。这时用一阶滞后就够了。
验证方法。 用带有已知趋势的测试数据（比如线性升温），对比一阶滞后和二阶平滑的跟踪误差。二阶平滑的稳态滞后应该明显更小。再用纯噪声数据测试，确认趋势项不会放大噪声。
自适应窗口或自适应权重
动态一阶滞后根据误差调整 alpha。另一种思路是调整窗口长度或权重：波动小时用长窗口降噪，波动大时用短窗口加快响应。注意：方差增大可能是真实阶跃或趋势，也可能只是噪声环境变差。如果是后者，缩短窗口反而会更抖。这种方法需要确认方差增大主要来自真实变化。
和动态一阶滞后的区别
两者思想类似，但实现不同：
- 动态一阶滞后：参数连续变化（alpha 是浮点数），输出是递推的，不需要缓冲区。
- 自适应窗口：窗口长度是整数，需要缓冲区，但可以结合去极值等非线性操作。
一种简单实现：基于方差调整窗口
先计算最近窗口内样本的方差，方差小时用长窗口，方差大时用短窗口。这比直接看单点误差更稳健——单点误差可能是个尖峰，但方差反映的是整体波动水平。
一种简单的映射方式是线性插值：给定方差的下限 \(V_{\text{low}}\) 和上限 \(V_{\text{high}}\)，对应的窗口长度为 \(N_{\text{max}}\) 和 \(N_{\text{min}}\)：
方差越小，窗口越长；方差越大，窗口越短。结果需要钳位到 \([N_{\text{min}}, N_{\text{max}}]\) 的整数范围。
#include <stdint.h>
/**
* 估计最近 n 个样本的样本方差。
*/
static float estimate_variance(const float *buf, uint16_t n)
{
if (n < 2) return 0.0f;
float sum = 0.0f;
for (uint16_t i = 0; i < n; i++) sum += buf[i];
float mean = sum / (float)n;
float var = 0.0f;
for (uint16_t i = 0; i < n; i++) {
float d = buf[i] - mean;
var += d * d;
}
return var / (float)(n - 1);
}
方差的计算量是 \(O(N)\)，每拍都要算的话开销不小。工程上可以每几拍算一次，或者用递推方差公式减少计算量。
什么时候用这种方法。 需要结合去极值、中值等非线性操作时，窗口方法比递推的一阶滞后更灵活。但代价是需要缓冲区，计算量更大。
Hampel 滤波：用数据本身估计异常门限
前面的动态一阶滞后用固定阈值 \(E_{\text{small}}\) 和 \(E_{\text{large}}\) 来判断误差大小。但如果信号的正常波动范围本身在变化（比如白天噪声大、夜间噪声小），固定阈值就不够用了。
Hampel 滤波用窗口内的数据自己估计波动范围，门限随数据自适应调整。
原理
Hampel 滤波的判定式：
其中： - \(\text{median}\) 是窗口内样本的中位数。 - \(\text{MAD}\)（Median Absolute Deviation）是各样本到中位数距离的中位数。 - \(1.4826\) 用来把 MAD 近似换算为标准差尺度（正态分布下，\(\sigma \approx 1.4826 \cdot \text{MAD}\)）。 - \(k\) 是倍数常数，通常取 2 ~ 3。\(k = 3\) 对应约 3 倍标准差，正态分布下误判率约 0.3%。
如果当前值离中位数太远（超过门限），就用中位数替代；否则保留原值。
MCU C 实现
#include <stdint.h>
/**
* Hampel 判定。
* x: 当前输入
* median: 窗口中位数
* mad: 窗口的 MAD
* k: 倍数常数（通常 2~3）
* mad_min: MAD 最小值，防止 MAD=0 时门限为 0
* 返回: 超过门限返回 median，否则返回 x
*/
float hampel_decide(float x, float median, float mad,
float k, float mad_min)
{
float diff = x - median;
if (diff < 0.0f) diff = -diff;
/* MAD 太小时（窗口内数据几乎相同），用最小门限保护。
* 否则任何微小偏差都会被判异常。 */
float effective_mad = mad > mad_min ? mad : mad_min;
/* 1.4826 * MAD 近似对应标准差尺度 */
if (diff > k * 1.4826f * effective_mad) return median;
return x;
}
和限幅的区别。 限幅用固定阈值判断异常；Hampel 用窗口内的 MAD 自动估计"正常波动有多大"。当信号的波动范围本身在变化时，Hampel 的门限会跟着调整，比固定限幅更稳健。
MAD = 0 的边界。 稳定 ADC 数据经常出现一串相同值，此时 MAD = 0，门限也为 0，任何微小偏差都会被判异常。代码中的 mad_min 参数就是为此设置的最小门限。工程上可以根据 ADC 分辨率或传感器典型噪声幅度来估计 mad_min。
代价和权衡。 需要维护一个窗口缓冲区，每拍要排序找中位数和 MAD，计算量是 \(O(N \log N)\)（如果用排序）或 \(O(N)\)（如果用选择算法）。实现概念比多维状态估计简单，但排序和窗口维护仍有计算代价，不要误以为它一定比递推方法便宜。
什么时候不该用。 窗口太小时，MAD 的估计不稳定，门限会跳动。窗口太大时，门限更新太慢，跟不上波动范围的快速变化。通常窗口 7~15 个样本比较合适。
验证方法。 用包含已知异常点的数据测试，对比 Hampel 和固定限幅的检测率和误判率。在波动范围变化的数据上，Hampel 的表现应该更稳定。
自适应算法的工程风险
自适应听起来很美好——让滤波器自己调整参数，不就能兼顾稳和快了吗？实际没那么简单。一旦参数随输入变化，系统的行为会变得更复杂，也更难预测。
追噪声
如果自适应策略对误差太敏感，小噪声也能触发参数变化。比如动态一阶滞后，如果 \(E_{\text{small}}\) 设得太小，稳态噪声就能让 alpha 在 \(\alpha_{\text{slow}}\) 和 \(\alpha_{\text{fast}}\) 之间频繁跳动，输出反而比固定参数更抖。
对策： \(E_{\text{small}}\) 应该大于稳态噪声的典型幅度。宁可大一点（偶尔响应慢），也不要小了（稳态追噪声）。
误判趋势
二阶指数平滑的趋势项可能把暂时的偏差当成持续趋势。一个异常值让 level 跳变，trend 也会跟着跳，后续几拍输出都会偏离。
对策： \(\beta\) 不要太大。如果异常值频繁，先用限幅或 Hampel 去异常，再送入二阶平滑。
启动阶段
自适应算法在启动时往往需要几拍到几十拍的"学习"时间。动态一阶滞后在第一拍没有历史误差，Holt 需要积累趋势估计。这段时间的输出可能不准。
对策： 初始化时用第一笔输入直接赋值，不从 0 开始。如果应用允许，可以在启动阶段用固定参数（比如 alpha = 0.5），等输出稳定后再切换到自适应模式。
异常恢复
自适应滤波器被一个大异常值"打偏"后，恢复速度取决于当前的参数状态。如果异常值触发了大 alpha，恢复时 alpha 仍然偏大，可能追着噪声跑一段时间才慢慢降下来。
对策： 对 alpha 的变化速率施加限制——每拍最多增加或减少多少。或者用滑动窗口的中位数/MAD 来判断是否真的需要大 alpha，而不是只看单点误差。
参数边界
自适应参数必须有明确的上下界。alpha 必须在 0 到 1 之间，窗口长度必须是正整数，门限不能为负。参数超出边界时，滤波器行为不可预测。
对策： 每次计算完自适应参数后，钳位到合法范围。不要假设计算过程不会产生意外值。
不再是 LTI
这是最关键的一点：固定参数的一阶滞后是 LTI 系统，可以讨论固定的频率响应、截止频率、群延迟。但当 alpha 根据误差变化时，它变成了非线性或时变系统，不能再用一个固定的截止频率完整描述它。
这意味着：
- 你不能说"这个动态一阶滞后的截止频率是 2 Hz"——它的等效截止频率随输入变化。
- 频率响应分析工具（Bode 图、传递函数）不再严格适用。
- 验证方法必须回到时域：用阶跃信号、斜坡信号、实际数据测试，观察输出行为。
这不是说自适应算法不好，而是说分析它的方法要变。第二章的工具箱里有频率响应；第四章的工具箱里有时域测试和工程判断。
小结：自适应的本质是改变取舍
| 算法 | 调整什么 | 适合场景 | 主要风险 |
|---|---|---|---|
| 动态一阶滞后 | alpha 随误差变化 | 既要稳又要快的显示/控制 | 阈值选不好会追噪声 |
| 二阶指数平滑 | 同时估计值和趋势 | 有缓慢趋势的信号（温度、电压） | 趋势项追噪声或过冲 |
| 自适应窗口 | 窗口长度或权重随波动变化 | 需要结合非线性操作时 | 计算量大，窗口切换不连续 |
| Hampel | 异常门限随 MAD 自适应 | 波动范围本身在变化的信号 | 需要排序，计算量较高 |
自适应滤波的核心不是"让滤波器更聪明"，而是把"稳"和"快"的折中从设计时的固定选择，变成运行时的动态调整。 这个调整本身有代价——参数更多、行为更难预测、不再是 LTI、需要更多工程验证。
下一章进入卡尔曼滤波。卡尔曼的思路更进一步：它不只是"根据误差调整 alpha"，而是用一个显式的状态空间模型来描述信号怎么变化、测量有多少噪声，然后在模型和测量之间做加权融合——在线性模型、噪声近似高斯且参数设置合理的条件下，这个加权是统计最优的。但核心问题和这一章一样：怎么在信任模型和信任测量之间找到平衡。